Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形AFED是菱形，∴AF=AD。
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。
∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD="AF" ，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴CF=BD。
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。
即①BD=CF，②AC=CF+CD。
（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF－CD。理由如下：
由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD。
补全图形如下，AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CD－CF。

解析