Question

如图，抛物线y=ax2-

3

2

x-2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，说出△ABC外接圆的圆心位置，并求出圆心的坐标．

Answer 1

分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可求解；
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点、B点、C点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

解答：解：（1）∵点B（4，0）在抛物线y=ax2-

3

2

x-2(a≠0)的图象上，
∴0=16a-

3

2

×4-2，
∴a=

1

2

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（2）△ABC为直角三角形．             
令x=0，得：y=-2，
∴C（0，-2），
令y=0，得

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，AC=

5

，BC=

20

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB为△ABC外接圆的直径，
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（

3

2

，0）．

点评：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及待定系数法的运用是理出思路的关键．