Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，设p=BC+CD，记四边形ABCD的周长为L，面积为S．
（1）若已知p=6，BC•CD=8，求周长L的值．
（2）试探究出S与p之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连结BD，利用勾股定理求出AB和AD的长即可求出周长L的值．
（2）利用三角形的面积公式和等腰直角三角形的性质即可得到S与p之间的关系．

解答：解：（1）如图，连结BD，
∵△BCD中，∠BCD=90°，p=BC+CD=6，BC•CD=8，
∴p²=BC²+CD²+2BC•CD=36，
∴BC²+CD²=36-16=20=BD²
又△ABD中，∠DAB=90°，AB=AD，
∴2AB²=BD²=20，
∴AB=AD=

10

，
∴四边形ABCD的周长L=2

10

+6，

（2）如图，
∵p=BC+CD，又△BCD中，∠BCD=90°，
∴S△BCD=

1

2

BC•CD=

1

4

(p2-BD2)，
又∵AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
∴S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

AB²=

1

4

BD²，
∴S=S△BCD+S△ABD=

1

4

(p2-BD2)+

1

4

BD2=

1

4

p2…10

点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是连接BD，构造直角三角形．