Question

如图，点A是反比例函数y1=

k

x

的图象与一次函数y2=x+

k

2

的图象的一个交点，AC垂直x轴于点C，且三角形OAC的面积为1．
（1）求这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
（2）利用图象判断，当x为何值时，y₁＞y₂？
（3）求△AOB的面积S（点O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）由三角形AOC的面积，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出反比例与一次函数解析式，将两解析式联立组成方程组，即可得出B的坐标；
（2）由A与B的横坐标及0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时x的范围即可；
（3）对于一次函数，令y=0求出x的值，确定出E的坐标，进而得到OE的长，三角形AOB的面积=三角形AOE的面积+三角形BOE的面积，求出即可．

解答：解：（1）由三角形AOC面积为1，得到

1

2

|k|=1，
又反比例函数图象位于第一、三象限，
∴k=2，
∴y₁=

2

x

，y₂=x+1，
将两函数解析式联立得：

y= 2 x y=x+1

，
解得：

x=1 y=2

或

x=-2 y=1

，
则A（1，2），B（-2，-1）；
（2）由图象可得：当0＜x＜1或x＞-2时，y₁＞y₂；
（3）对于一次函数y₂=x+1，令y₂=0，得到x=-1，
∴E（-1，0），即OE=1，
则S_△AOB=S_△AOE+S_△BPE=

1

2

OE•y_A纵坐标+

1

2

OEy_B纵坐标=1+

1

2

=

3

2

．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数k的几何意义，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用．