Question

如图，已知△ABC中AB=AC，在BA的延长线上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，连结DE，求证：DE⊥BC．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：延长DE交BC于G，作△ABC底边BC上的高AF，如图, ∵AD=AE(已知)，∴∠D=∠AED(等边对等角) 又∵∠BAC=∠D＋∠AED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴∠D=∠BAC(等式性质) ∵AF⊥BC(作图)， ∴∠BAF=∠BAC(等腰三角形三线合一定理) ∴∠D=∠BAF(等量代换) ∵∠BAF＋∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) ∴∠D＋∠B=90°(等量代换) ∴∠DGB=180°－(∠D＋∠B)=90°(三角形内角和定理) 即：DE⊥BC(垂直定义)

提示：

要证明DE⊥BC，可考虑等腰三角形中，与底边垂直的有关定理，通过与之建立联系来证明DE⊥BD．我们知道三线合一定理中有这样的垂直关系，所以，可作底边BC上的高AF，然后，设法证明DE∥AF．