题目内容

如图，点E（-4，0），以点E为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c过点A和点B，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（3）点Q（m， $数学公式$ ）（m＜0）在抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c的图象上，点P为此抛物线对称轴上的一个动点，求PQ+PB的最小值；
（4）CF是圆E的切线，点F是切点，在抛物线上是否存在一点M，使△COM的面积等于△COF的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵⊙E的半径为2，
∴点E的坐标为（-4，0）易知A（-2，0），B（-6，0）
∵抛物线过点A和B，
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2；

（2）∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2与y轴交于点C，
令x=0，y= $\text{[math]}$ ×0²+ $\text{[math]}$ ×0+2=2，
∴C（0，2）
作图象如右；（未作图的给3分）

（3）∵Q（m， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+2
整理为m²+8m-20=0，
即m₁=2，m₂=-10
∵m＜0，则m=-10
∴Q（-10， $\text{[math]}$ ）
∵y= $\text{[math]}$ （x+4）²- $\text{[math]}$ ，
又∵A（-2，0）与B（-6，0）
关于x=-4对称，则PQ+PB的最小值就是QA的长度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA= $\text{[math]}$ ；

（4）解法一：连接EF，
∵EF=2，在Rt△COD与Rt△EFD中，EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF，
∴Rt△COD≌Rt△EFD
设OD=-x，则ED=CD=4+x，在Rt△COD中2²+（-x）²=（4+x）²，则X_F=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5，设∠OCD=∠1，则sin∠1= $\text{[math]}$ ．
设X₁=α
又∵CF= $\text{[math]}$ =4，
∴ $\text{[math]}$ =sin∠1，
∴ $\text{[math]}$
∴a=- $\text{[math]}$ =-2.4
又S_△COF=S_△COM，
∵CO=CO，三角形同底则只要高相等，则S_△COF=S_△COM∴x_M=X_F或X_M=-X_F，
故存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
y_M1= $\text{[math]}$ ×-2.4²+ $\text{[math]}$ x-2.4+2=-0.24，
y_M2= $\text{[math]}$ ×2.4²+ $\text{[math]}$ ×2.4+2=6.16
∴M的坐标为M₁（-2.4，-0.24），M₂（2.4，6.16）
解法二：如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点，由△COD≌△EFD?CD=ED
设OD=xED=CD=4-x，
则有（4-x）²-x²=2²?x=1.5又CF= $\text{[math]}$ =4
又∵Rt△COD≌Rt△EFD，CD=DE，OD=DF
∴ $\text{[math]}$ =2.4
若S_△COF=S_△COM，故M点到底边CO的高为2.4，则存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
当x_M1=-2.4时，y_M1= $\text{[math]}$ ×（-2.4）²+ $\text{[math]}$ ×（-2.4）+2=-0.24，
∴M₁（-2.4，-0.24）x_M2=2.4时， $\text{[math]}$ ×2.4+2=6.16，
∴M₂（2.4，6.16）
如果有其它不同解法，可依据解法一或解法二的得分标准给分．
分析：（1）根据题意可得点A，B的坐标，将点A，B的坐标代入二次函数的解析式即可求得；
（2）抛物线与y轴的交点横坐标为0，代入求得纵坐标，可得点C的坐标，求得顶点坐标，对称轴即可画草图；
（3）根据两点之间线段最短可得：Q（m， $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+2整理为m²+8m-20=0，即m₁=2，m₂=-10．因m＜0，则m=-10，∴Q（-10， $\text{[math]}$ ）．∵y= $\text{[math]}$ （x+4）²- $\text{[math]}$ ，又∵A（-2，0）与B（-6，0）关于x=-4对称，则PQ+PB的最小值就是QA的长度，求解即可；
（4）根据全等的知识，利用三角函数，借助于方程求解即可．
点评：此题考查了圆与二次函数的综合知识，是中考中难度较大的题目；解题时要注意审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想与方程思想的应用．