Question

（2013•浦东新区一模）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3

2

，经过这个三角形重心的直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G．设BM=x，四边形AFPG的面积为y．
（1）求PM的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接MF、MG，当△PMF与△PMG相似时，求BM的长．

Answer 1

分析：（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点H，则点H为△ABC的重心，由重心的性质即可求出HE的长度，也即得出PM的长度；
（2）过点D作DI⊥BC于I，表示出DP、PE，继而表示出FP、PG，从而得出y关于x的函数解析式，也可得出x的取值范围；
（3）因为两三角形有公共边，分两种情况讨论，①△PMF≌△PMG，②△PMF∽△PGM，分别求出x的值即可．

解答：解：（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点H，则点H为△ABC的重心，

由题意得△ABC是等腰直角三角形，
故AN=

1

2

BC=3，
由重心的性质可得：

AH

HN

=2，
∴

DE

BC

=

AH

AN

=

2

3

，
故HN=

1

3

AN=1，DE=4，
即可得PM的长为1．

（2）过点D作DI⊥BC于I，过点E作EK⊥BC于点K，

则BI=DI=PM=1，
设BM=x，则IM=DP=x-1，PE=4-DP=5-x，
易得△FDP、△GPE均为等腰直角三角形，
∴PF=

x-1

2

，PG=

5-x

2

，
则y=PF×PG=

x-1

2

×

5-x

2

=

1

2

（x-1）（5-x）=

-x2+6x-5

2

，
由图形可得点M处于I-K之间，故可得：1＜x＜5．
综上可得y=

-x2+6x-5

2

，（1＜x＜5）．

（3）①当△PMF≌△PMG时，此时点P与点H重合，BM=BN=3；
②当△PMF∽△PGM时，

PF

PM

=

PM

PG

，即

x-1 2

1

=

1

5-x 2

，
整理得：

x-1

2

=

2

5-x

，
解得x=3±

2

．
综上可得当△PMF与△PMG相似时，求BM的长为3，3±

2

．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、矩形的面积及三角形重心的性质，注意结合图形进行解答，观察图形得出点M运动的范围，难度较大．