Question

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=______

Answer 1

【答案】分析：（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF=30°即可；
（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=-2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+2．
解答：解：（1）①连接EF，
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，
∴EF∥AD，FM∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°==，
故答案为：；
②结论：的值不变，
证明：连接EF、AD、BC，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴．
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴．
∴．
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
∴△AOD∽△BOC．  
∴，∠1=∠2．
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF∥AD，FM∥CB，且，．
∴，
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5．
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°．
∴∠EFM=90°．
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，
∴∠EMF=30°．
∴；

（2）过O作OE⊥AB于E，
∵BO=3，∠ABO=30°，
∴AO=3，AB=6，
∴AB•OE=OA•OB，
∴OE=，
∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，
这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=-2；

当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+2，
∴线段PN长度的最小值为，最大值为．

故答案为；．
点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．