Question

在平面直角坐标系xoy中，直线y=

1

2

x-2向上平移2个单位得直线l，直线l与反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象交于A．B两点，且点A的纵坐标为2．
（1）试确定反比例函数的解析式；
（2）若双曲线y=

k

x

(k＞0)上有一点C的横坐标为1，求△AOC的面积；
（3）将直线l绕原点O旋转α度角（α为锐角）交双曲线y=

k

x

(k＞0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先直线y=

1

2

x-2向上平移2个单位得直线l的解析式是y=

1

2

x，根据这一解析式求得点A的横坐标，再根据点A的坐标求得反比例函数的解析式；
（2）根据反比例函数的解析式求得点C的纵坐标，再根据三角形的面积等于梯形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算；
（3）根据直线和双曲线都是关于原点对称的中心对称图形，则知组成的四边形是平行四边形，根据平行四边形被两条对角线分成的四个三角形的面积相等，得三角形AOP的面积是6，设P（a，

8

a

），结合（2）中的方法求解．

解答：解：（1）直线y=

1

2

x-2向上平移2个单位得直线l的解析式是y=

1

2

x，
所以点A的横坐标是4．
把（4，2）代入y=

k

x

(k＞0)，得k=8，
则反比例函数的解析式是y=

8

x

；

（2）根据（1）中求得的解析式，求得点C的纵坐标是8，
则三角形AOC的面积=

1

2

×8（3+4）-

1

2

×3×6-

1

2

×4×2=15；

（3）根据直线和双曲线都是关于原点对称的中心对称图形，则知组成的四边形是平行四边形，根据平行四边形被两条对角线分成的四个三角形的面积相等，得三角形AOP的面积是6．
设P（a，

8

a

），
①当点P在点A的左侧时，则有

1

2

×

8

a

×（4-a+4）-4-

1

2

×（4-a）×（

8

a

-2）=6，
解得a=2或a=-8（不合题意，舍去）；
②当点P在点A的右侧时，则有

1

2

×2×（a-4+a）-4-

1

2

×（a-4）×（2-

8

a

）=6，
解得a=8或a=-2（不合题意，应舍去）．
则P（2，4）或（8，1）．

点评：此题综合考查了直线的平移、正比例函数和反比例函数的图象的交点以及不规则图形的面积的计算．