题目内容
【题目】如图，一次函数
与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线
经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．
求此抛物线的表达式；
求当
为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；
点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得
≌
？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；（2）当
为等腰三角形时，t的值为
、
或
或4；（3）点T的坐标为
．
【解析】
（1）先求得点A和点B的坐标，然后把点A和点B的坐标滴啊如抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）运动t秒后，AQ=t，BP=2t，先求得AB的长，然后分为QA=QP，AP=AQ，PA=PQ三种情况，求解即可；
（3）过点P作PF⊥AO于点F，延长FP交抛物线与点T．则AP=4-2t，PF=
AP=2-t，然后可得到S△APQ与t的函数关系式，从而可求得t的值，于是可得到点P的坐标，从而可求得点T的坐标，然后再证明∴△APT≌△APO即可．
把
代入
中，得
．
把
代入中，得
．
，
把
，分别代入
中，得
，
，
抛物线的表达式为
，
，由勾股定理，得
，
．
运动t秒后，
，
．
为等腰三角形，有
，
，
三种情况，
当
时，过点Q作
于点D．
在
中，
，
，
．
解得
；
当时，
若点P在x轴上方的直线AB上，
，，
，
解得
；
若点P在x轴下方的直线AB上，
，
，
解得：
；
当时，过点P作
于点E．
则
，在
中，
，
．
解得：
综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4．
过点P作
于点F，延长FP交抛物线与点T．
为底边AQ上的高．
，
，
．
．
当
时，的面积最大
此时点P为AB的中点，且
．
连接OP，则
，
点，
点T的横坐标为
，
将
代入抛物线的解析式得：
．
．
在
中，由勾股定理可知：
，
．
≌
．
点T的坐标为．
