Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=

3

4

，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC，AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长是x，矩形APQR面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线上的一部分．
（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）首先根据三角函数的定义利用x以及AC的长表示出y与x的函数关系，然后把（12，36）代入解析式即可求得AC的长，然后利用三角函数即可求得AB的长；
（2）利用二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）∵tanB=

3

4

，
∴

AC

AB

=

3

4

，
∵矩形APQR中AB∥QR，
∴∠RQC=∠B，
∴tan∠RQC=tanB=

3

4

，
∴

RC

QR

=

3

4

，
则RC=

3

4

x，AR=AC-

3

4

x，
则y=x（AC-

3

4

x），把（12，36）代入得：12（AC-

3

4

×12）=36，
解得：AC=12，
则AB=16；

（2）函数的解析式是：y=-

3

4

x²+12x，
则当x=

12

3 2

=8时，函数值最大，最大值是：-

3

4

×8²+12×8=48．

点评：本题考查了三角函数的定义，以及待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质，正确表示出y与x的函数解析式是关键．