题目内容
已知，如图，△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，过点P作PE∥AB交圆于E．求证：（1）AC=PE；（2）PB2=PD•PA．
分析：（1）证明两条弦相等，即可转化为证明其所对的弧相等；
（2）利用上题证得的相等的圆周角证明△PBD∽△PAB后即可得到等积式．
（2）利用上题证得的相等的圆周角证明△PBD∽△PAB后即可得到等积式．
解答：证明：（1）∵PE∥AB，
∴
=
∴∠BAP=∠APE，
∵△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，
∴∠CAP=∠BAP
∴∠CAP=∠APE，
∴
=
，
∴
=
，
∴AC=PE；
（2）∵∠CBP=∠BAP，∠BPA=∠BPA，
∴△PBD∽△PAB，
∴PB2=PD•PA．
∴
 |
| AE |
|
| BP |
∴∠BAP=∠APE，
∵△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，
∴∠CAP=∠BAP
∴∠CAP=∠APE，
∴
|
| CP |
|
| AE |
∴
|
| AC |
|
| BC |
∴AC=PE；
（2）∵∠CBP=∠BAP，∠BPA=∠BPA，
∴△PBD∽△PAB，
∴PB2=PD•PA．
点评：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用弧与圆周角的转化．
练习册系列答案
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