Question

如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.

(1)请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；

（2）若∠BAD=60°, 该花圃的面积为S米².

①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=时x的值；

②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

Answer 1

解：（1）∵AB=CD=x米，∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米.

(2)①如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x,∠BAE=60°

∴AE=x,BE=x.同理DF=x,CF=x

又EF=BC=40-2x

∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x

∴S= (40-2x+40-x)·x=x(80-3x)

= (0＜x＜20)

当S=时，=

解得：x₁=6,x₂=（舍去）.∴x=6…

②由题意，得40-x≤24,解得x≥16，

结合①得16≤x＜20

由①，S==

∵a=＜0

∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）.

其对称轴为x=，∵16＞,由左图可知，

当16≤x＜20时，S随x的增大而减小……………………………（11分）

∴当x=16时，S取得最大值，………………………………………（12分）

此时S最大值=.…………………（13分）