Question

已知：抛物线，顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．

　 （1）求这条抛物线的解析式；

　 （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于

E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断　　　　 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；

　 （3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，

MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），

请判断　　　　 是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为

            将A（-1，0）带入

            得

∴

即

          （2）        是定值1

               ∵AB是直径

               ∴∠AEB=90°

               ∵QF⊥AE

∴QF∥BE

               ∴       

               同理可得       

               ∴

                    ∴        为固定值1

          （3）         成立

∵直线EC为抛物线对称轴

               ∴EC垂直平分AB

               ∴AE=EB

               ∴∠FAQ=45°

               ∴AF=FQ

∵QF∥BE

∴

∴        

∵MN⊥EQ

∴∠QEF=∠MNE

又∵∠QFE=∠MEN=90°

  ∴△QEF≌△MNE

∴         

  ∴