题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HGHB的值．
【答案】（1）见试题解析；（2）BD与⊙O相切，理由见试题解析；（3）HGHB=2+
．
【解析】
试题分析：（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；
（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=
BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=+1，有勾股定理解出EF=
=
，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=
EF=
，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．
试题解析：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，
∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，
在△ABC与△EBF中，
，∴△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB
证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，
∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；
（3）解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=
BF，
∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=
，
∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，
∵BH平分∠CBF，∴
，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，
∴
，∴HGHB=HF2=2+．
