Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．

（1）求证：ABCD是矩形；

（2）若AD=，cos∠ABE=，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5．

【解析】

（1）先说明.OA=OC，OB=OD，再证得AC=BD，即可证明ABCD是矩形；

（2）先说明∠BAD=∠ADC=90°，再求得∠CAD=∠ABE，最后解直角三角形即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC，OB=OD

又∵OA=OB，

∴OA=OB=OC=OD，

∴AC=BD，

∴OABCD是矩形；

（2）解∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，

∵BE⊥AC，

∴∠BAC+∠ABE=90°，

∴∠CAD=∠ABE，

在Rt△ACD中，AD=，cos∠CAD==cos∠ABE=

∴AC=5．