Question

12、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°．证明：PA+PD+PC≥BD．

Answer 1

分析：在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D，由∠APD=120°可证明B'P=AP+PD，易知B'C≥PB'+PC，得B'C≤PA+PD+PC，然后通过证明△AB'C≌△ADB，可得BD=B'C，继而得证．

解答：证明：在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D，
延长AP到点E，使PE=PD，连接DE，

∵PE=PD，∠DPE=60°，
∴△PDE为等边三角形，
∵DB′=AD，DP=ED，∠B′DP=∠ADE，
∴△ADE≌△B′PD（SAS），
∴B'P=AP+PD，
易知B'C≥PB'+PC，得B'C≤PA+PD+PC．
∵△AB'D是等边三角形，
∴AB'=AD，∠B'AD=60°，
又易知△ABC是等边三角形，
故AC=AB，∠BAC=60°，
∴△AB'C≌△ADB，∴B'C=DB，
∴PA+PD+PC≥BD，得证．

点评：本题考查几何不等式的知识，解答本题的关键是将证明不等式PA+PD+PC≥BD转化为证明不等式B'C≤PA+PD+PC．