Question

如图所示，已知直线y＝kx＋m与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝－x²＋bx＋c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)设点P是直线AC上一点，且S_△ABP：S_△BPC＝1∶3，求点P的坐标；

(3)若直线与(1)中所求的抛物线交于M、N两点，问：

①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围(不写过程，直接写结论)．

(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则M，N两点间的距离为)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意得 　　解得 　　∴抛物线的解析式为 　　∴， 　　∴直线的解析式为(2分) 　　(2)分两种情况： 　　①点在线段上时，过作轴，垂足为 　　∵ 　　∴ 　　∵∥ 　　∴ 　　∴， 　　∴ 　　∴ 　　②点在线段的延长线上时，过作轴，垂足为 　　∵ 　　∴ 　　∵∥ 　　∴ 　　∴， 　　∴ 　　∴ 　　综上所述，或(4分) 　　(3)①方法1：假设存在的值，使直线与(1)中所求的抛物线交于、两点(在的左侧)，使得 　　由 　　得 　　∴， 　　又， 　　∴ 　　 　　 　　∵ 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　即 　　∴或 　　∴存在或使得(3分) 　　方法2：假设存在的值，使直线与(1)中所求的抛物线交于、两点(在轴上侧)，使得，如图，过作于，过作于 　　可证明 　　∴ 　　即 　　∴ 　　即 　　以下过程同上 　　②当时，(1分)