Question

已知二次函数y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形？如果存在求m；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，设出B、C两点的坐标，根据根与系数的关系用m表示出BC的长，由抛物线的顶点式求出A的纵坐标及AD的长，根据等腰三角形的性质可得到BC=2AD，代入关系式即可求出m的值，由m的值即可作出判断．

解答：解：若△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC=90°，
设B、C两点的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0），x₁＜x₂，则x₁、x₂是方程x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0的两个根，
∴x₁+x₂=m²+8，x₁•x₂=2（m²+6），
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴BC=x₂-x₁，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（m²+8）²-8（m²+6），
=（m²+4）²，
∴BC=m²+4，
∵由抛物线的顶点坐标可知，A点的纵坐标为，

8(m2+6)-(m2+8)2

4

=2（m²+6）-

(m2+8)2

4

，
∴AD=

(m2+8)2

4

-2（m²+6），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AD，
∴m²+4=

(m2+8)2

2

-4（m²+6），
解得m²=-2＜0，m²=-4＜0，都无意义．
故答案为：不存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点、根与系数的关系及等腰直角三角形的性质，根据题意设出各点的坐标，由直角三角形的性质得出BC=2AD是解答此题的关键．