Question

如图，已知点P（-4，0），以点P为圆心PO长为半径作圆交x轴于点A、O两点．过点A作直线AC交y轴于点C，与圆P交于点B，sin∠CAO=
（1）求点C的坐标；
（2）若点D是弧AB的中点，求经过A、D、O三点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点P（-4，0），可求得OA的长，又由sin∠CAO=，即可求得OC的长，则可得到点C的坐标；
（2）首先连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，易得∠D=∠A，即可求得点D的坐标，然后由待定系数法求得经过A、D、O三点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）．
解答：解：（1）∵P（-4，0），
∴OP=4，
∴OA=2OP=8，
在Rt△AOC中，sin∠CAO==，
∴设OC=3x，AC=5x，
∵AC²=OC²+OA²，
∴（5x）²=（3x）²+8²，
解得：x=2，
∴OC=6，AC=10，
∴点C的坐标为（0，6）；

（2）连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，
∴∠D+∠DPE=90°，PD=OP=4，
∵点D是弧AB的中点，
∴PD⊥AB，
∴∠A+∠DPE=90°，
∴∠D=∠A，
∴sin∠D==，
∴PE=，
∴DE==，
∴OE=OP+PE=，
∴点D的坐标为：（-，），
∴，
解得：，
∴经过A、D、O三点的抛物线为：y=-x²-x．
点评：此题考查了垂径定理、勾股定理、三角函数以及待定系数法求二次函数的解析式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．