Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S_△ABC为8；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P是对称轴上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为D，直线CD交x轴于E．则x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使S_△QBE=15？

Answer 1

分析：（1）首先根据点A和点B的坐标及△ABC的面积求得点C的坐标，然后利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（2）首先确定抛物线的对称轴，然后求得直线BC的解析式，求得直线与对称轴的交点坐标即为点P的坐标；
（3）首先求得抛物线的顶点坐标，然后根据S_△QBE=15求得点Q的纵坐标，然后代入抛物线的解析式求得其横坐标即可．

解答：解：（1）∵点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S_△ABC为8，
∴点C的坐标为（0，4），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=4

解得：

a=- 4 3 b= 8 3 c=4

，
∴解析式为：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）y=-

4

3

x²+

8

3

x+4的对称轴为：x=

8 3

-2×(- 4 3 )

=1，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴

3k+b=0 b=4

解得：

k=- 4 3 b=4

，
∴直线BC的解析式为：y=-

4

3

x+4，
∴

y=- 4 3 x+4 x=1

，
解得：

x=1 y= 8 3

，
∴P（1，

8

3

）；

（3）∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4=-

4

3

（x-1）²+

16

3

，
∴D点的坐标为（1，

16

3

）
设直线DC的解析式为y=kx+b，
∴

k+b= 16 3 b=4

解得：

k= 4 3 b=4

∴直线BC的解析式为：y=

4

3

x+4，
令y=0，则x=-3，
∴E（-3，0），
BE=CE+CB=3+3=6
设点Q的坐标为（a，b），
由题意得S_△QBE=

1

2

BE×|b|=15
解得：b=5，
把b=5代入y=-

4

3

x²+

8

3

x+4
得=-

4

3

x²+

8

3

x+4=5
解得：x=

1

2

，或x=

3

2

，、
∴点Q的坐标为（

1

2

，5），（

3

2

，5），
∴存在点Q（

1

2

，5），（

3

2

，5），使S_△QBE=15．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是第（3）题中涉及到的存在性问题更是中考的常考知识点之一，应加强这种题型的训练．