Question

如图，，点在第二象限内，点在轴的负半轴上，.

小题1:⑴求点的坐标；
小题2:⑵如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案（不再另外添加辅助线）；

小题3:⑶在⑵的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式.

Answer 1

小题1:（1）
小题2:（2）
小题3:（3）或

分析：
（1）首先在Rt△ACO中，根据∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
（2）根据已知条件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
（3）过点E₁作E₁M⊥OC于点M，利用S_△COE1=4和∠E₁OM=60°可以求出点E₁的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式。
解答：
（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）。
（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC。
（3）如图1，过点E₁作E₁M⊥OC于点M．

∵S_△COE1=1/2CO?E₁M=/4，
∴E₁M=/4，
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，则-2k₁+b₁=0；-1/4 k₁+b₁=/4，
∴tan60°= E₁M/ OM=1/4
∴点E₁的坐标为（-1/4，/4）。
设直线CE₁的函数表达式为y=k₁x+b₁，则-2k₁+b₁=0；-1/4 k₁+b₁=/4，
解得k₁=/7，b₁=2/7，
∴y=/7x+2/7。
点评：此题是开放性试题，把直角三角形、全等三角形，一次函数等知识综合在一起，要求学生对这些知识比较熟练，利用几何方法解决代数问题。