Question

心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的活动随学习时间的变化而变化，开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指标数），随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出当x≤10，10＜x＜30，以及x≥30时，注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数关系式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）某数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高．”其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的课堂学习设计安排是否合理？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答；
（2）把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出；
（3）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案．

解答：解：（1）设y_AB=k₁x+b，把（0，20），（10，50）代入函数解析式解得y_AB=3x+20（0≤x≤10），
由图象直接得到y_BC=50（10≤x≤30），
设y_CD=

k

x

，把（30，50）代入函数解析式解得y_CD=

1500

x

（30≤x≤45）；

（2）把x=5代入y_AB=3x+20，得y_AB=35，
把x=35代入y_CD=

1500

x

，得y_CD=

300

7

，
因为y_AB≤y_CD，
所以第35分钟时学生的注意力更集中；

（3）由题意知，注意力指数不低于40
即当在3x+20≥40，x≥

20

3

同时

1500

x

≥40
即x≤

1500

40

=37.5
即当开始上课

20

3

分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40．
而37.5-

20

3

＞30
∴该学习设计是合理的．

点评：此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题．