Question

（2012•房山区一模）已知：如图，M是AB的中点，以AM为直径的⊙O与BP相切于点N，OP∥MN．
（1）求证：直线PA与⊙O相切；
（2）求tan∠AMN的值．

Answer 1

分析：（1）连接ON，根据切线的性质可以得到∠PNO=90°，然后证明△AOP≌△NOP，则可以得到：∠OAP=∠ONP=90°，则结论得证；
（2）根据∠POA=∠AMN，则可以转化成求∠POA得正切值，然后根据正切的定义求PA与OA的比值即可．

解答：（1）证明：连接ON，
∵BP与⊙O相切于点N，
∴ON⊥BP，∠ONP=90°．…（1分）
∵MN∥OP，
∴∠OMN=∠AOP，∠MNO=∠NOP．
又∵∠OMN=∠MNO，
∴∠AOP=∠NOP．
又∵OA=ON，OP公用，
∴△AOP≌△NOP．
∴∠OAP=∠ONP=90°．
∴直线PA与⊙O相切．…（2分）．

（2）解：设⊙O的直径是2r．
∵M是AB的中点，∴BM=2r，OB=3r．
∴BN=

OB2-ON2

=

8r2

=2

2

r．…（3分）
∵∠PAB=∠ONB=90°，
∴△PAB∽△ONB．
∴

PA

ON

=

AB

NB

=

4r

2 2r

=

2

．…（4分）
∴tan∠AMN=tan∠AOP=

PA

OA

=

PA

ON

=

2

．…（5分）

点评：本题考查了切线的判定，以及三角函数，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．