Question

如果方程（x-1）（x²-2x+

k

4

）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据原方程可得出：①x-1=0，②x²-2x+

k

4

=0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x₁+x₂和x₁-x₂的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围．

解答：解：由题意，得：x-1=0，x²-2x+

k

4

=0；
设x²-2x+

k

4

=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n=2，mn=

k

4

；
m-n=

(m+n)2-4mn

=

4-k

；
根据三角形三边关系定理，得：
m-n＜1＜m+n，即

4-k

＜1＜2；
∴

4-k ＜1 4-k≥0

，解得3＜k≤4．

点评：此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理．