Question

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD与点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实，
①当

AE

AC

=

1

2

=

1

1+1

时，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

(如图1)；
②当

AE

AC

=

1

3

=

1

1+2

时，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

(如图2)；
③

AE

AC

=

1

4

=

1

1+3

时，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

(如图3)；
如图4中，当

AE

AC

=

1

1+n

时，请你猜想

AO

AD

的一般结论，并证明你的结论（其中n为正整数）．

Answer 1

分析：过D作DF∥BE，即求AO：AD=AE：AF，因为

AE

AC

=

1

1+n

，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出AE：AF=2：（n+2），即

AO

AD

=

2

n+2

．

解答：解：猜想

AO

AD

=

2

n+2

．
证明：过D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D为BC边的中点，
∴CF=EF=

1

2

EC．
∵

AE

AC

=

1

1+n

，
∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．
∴AE：EF=2：n．
∴AE：AF=2：（n+2），即

AO

AD

=

2

n+2

．

点评：本题考查平行线分线段定理及其应用，有一定难度，注意D为BC边的中点的运用．