题目内容
【题目】已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1， 
）．
（1）求tan∠OPQ的值；
（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．
【答案】
（1）解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2
∴顶点P（1，0），
∵当x=0时，y=1，
∴Q（0，1），
∴tan∠OPQ=1；
（2）解：①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m，
∴Q′（0，m）其中m＞1，
∴OQ′=m，
∵F（1， 
），
过F作FH⊥OQ′，如图：
∴FH=1，Q′H=m﹣ ，
在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣ ）2+1=m2﹣m+ 
，
∵FQ′=OQ′，
∴m2﹣m+ =m2，
∴m= ，
∴抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+ ，
②方法一：设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+ ①，
过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），
∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，
连接FP，
∵F（1， ），P（1，0），
∴FP⊥x轴，
∴FP∥AN，
∴∠ANF=∠PFN，
连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，
∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，
∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，
∵A（x0，y0），F（1， ），
∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+ 
=x02﹣2x0+ +y02﹣y0=（x02﹣2x0+ ）+y02﹣y0②
∵y0=x02﹣2x0+ ①，
将①右边整体代换②得，AF2=（x02﹣2x0+ ）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02
∵y0＞0
∴AF=y0，
∴y0=y0﹣n，
∴n=0，
∴N（x0，0），
设直线Q′F的解析式为y=kx+b，
则 
，
解得 
，
∴y=﹣ 
x+ ，
由点N在直线Q′F上，得，0=﹣ x0+ ，
∴x0= 
，
将x0= 代入y0=x 
﹣2x0+ ，
∴y0= 
，
∴A（ ， ）．
方法二：由①有，Q'（0， ），F（1， ），P（1，0），
∴直线FQ'的解析式为y=﹣ x+ ①，
∵FQ'⊥PK，P（1，0），
∴直线PK的解析式为y= 
x﹣ ②
联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（ 
， 
），
∵点P，K关于直线FQ'对称，
∴K（ 
， 
），
∵F（1， ），
∴直线FK的解析式为y= 
x+ 
③，
∵射线FK与抛物线C′：y=x2﹣2x+ ④相交于点A，
∴联立③④得， 
或 
（舍），
∴A（ ， ）．
【解析】（1）配成顶点式，求出顶点坐标，利用正切定义，求出正切；（2）抛物线上下平移，解析式整体上加减常数m，由FQ′=OQ′，利用勾股定理构建方程，求出m;由"P关于直线Q′F的对称点为K,“可利用轴对称的性质，得出直线Q′F是线段PK的垂直平分线，以A的横、纵坐标为未知数建立两个方程y0=x02﹣2x0+ 5 4 ①，0=﹣ x0+ ,求出坐标.
