题目内容

已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求△ABP的面积．

解：（1）∵该二次函数有最大值，
∴该函数的图象开口方向向下．
又∵二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，
∴该抛物线的对称轴是x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，函数有最大值2，
∴该函数的顶点是（ $\text{[math]}$ ，2）．
∴可设该二次函数解析式为y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+2（a＜0），
则将点A的坐标代入，得0=a（-2- $\text{[math]}$ ）²+2，解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴二次函数的函数关系式y=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+2；

（2）由（1）知，顶点P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，2）．则点P到x轴的距离是2；
由A（-2，0），B（3，0）知AB=5，
则S_△ABP= $\text{[math]}$ ×5×2=5，即△ABP的面积是5．
分析：（1）根据题意知该抛物线的顶点是（ $\text{[math]}$ ，2），则可设该二次函数解析式为y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+2，然后将点A代入代入该解析式即可求得a的值；
（2）根据三角形的面积公式来求△ABP的面积．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数解析式时，也可以设两点式方程y=a（x+2）（x-3）（a＜0），然后把顶点坐标代入求得a值即可．