Question

在△ABC中，AB=20cm，AC=16cm，点P从A点出发，沿AB方向以每秒4cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿CA方向以每秒2cm的速度向A点运动，当P到达B点时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，求t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

解：∵AB=20cm，点P从A点出发，沿AB方向以每秒4cm的速度向B点运动，
∴AP=4t，
∵AC=16cm，点Q从C点出发，沿CA方向以每秒2cm的速度向A点运动，
∴AQ=16-2t
（1）当△APQ∽△ABC时，
=
即：=
解得：t=
（2）当△AQP∽△ABC时，
=
即：=
解得：t=
∴当t=或t=秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
分析：首先根据AB=20cm，点P从A点出发，沿AB方向以每秒4cm的速度向B点运动得到AP=4t，再根据AC=16cm，点Q从C点出发，沿CA方向以每秒2cm的速度向A点运动得到AQ=16-2t
然后分当△APQ∽△ABC时和当△AQP∽△ABC时两种情况求得t值即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，重点考查了分类思想的应用，本题的易错点是只考虑了一种情况．