Question

如图，点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=

2

3

，求△ACF的面积．

Answer 1

分析：可证明△ACF∽△BEF，再由直径所对的圆周角等于90°，得出△BFA为直角三角形，由余弦的定义得出

BF

AF

=

2

3

，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出△ACF的面积即可．

解答：解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，（2分）
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，（4分）
在Rt△BFA中，cos∠BFA=

BF

AF

=

2

3

，（5分）
∴

S△BEF

S△ACF

=(

BF

AF

)2=

4

9

，（6分）
又∵S_△BEF=8，
∴S_△ACF=18．（8分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理以及解直角三角形，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．