Question

如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₀BC与∠A₂₀₁₀CD的平分线相交于点A₂₀₁₁，得∠A₂₀₁₁，根据题意填空：
（1）如果∠A=80°，则∠A₁=

40

°．
（2）如果∠A=α，则∠A₂₀₁₁=

a

22011

．（直接用α代数式）

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A₁=

1

2

∠A；
（2）根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A₁=

1

2

∠A=

a

21

，∠A₂=

1

2

∠A₁=

a

22

，…，依此类推可知∠A₂₀₁₁的度数．

解答：解：（1））∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁=180°-

1

2

∠ACD-∠ACB-

1

2

∠ABC
=180°-

1

2

（∠ABC+∠A）-（180°-∠A-∠ABC）-

1

2

∠ABC
=

1

2

∠A
=40°；

（2）∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁=180°-

1

2

∠ACD-∠ACB-

1

2

∠ABC
=180°-

1

2

（∠ABC+∠A）-（180°-∠A-∠ABC）-

1

2

∠ABC
=

1

2

∠A
=

a

21

；
同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁=

a

22

，
…
∴∠A₂₀₁₁=

a

22011

．
故答案为：40，

a

22011

．

点评：本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是沟通外角和内角的关系．