Question

已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点。若求的值；
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得的面积等于PA²，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意，                 ∵对称轴是直线x=1                 ∴                 把，分别代入得                解得                ∴这个二次函数的解析式为； （2）直线与y轴交于，∴          由得                             ∴            ∴△BOD∽△BCE           ∴         ∴ （3）设                  ∴即          解得n=-1          ∴        ∴        设存在符合条件的点则m>0          ①当M在直线BD上侧时，连接OM(如图1)，             则             即                       整理，得           解得(舍去)，           把代入得           ∴    ②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1连接OM1(如图1)，         则        即                   整理，得         解得(舍去)          把m=2代入得y=-3          ∴        综上所述，存在符合条件的点M其坐标为或