题目内容

某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10米和20米的梯形空地上种植花木，如图1所示．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/平方米，当△AMD地带种满花后，共花160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．
（2）若其余地带有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/平方米和10元/平方米，选择种哪种花木，可以刚好用完所筹集的资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变，如图2所示，请你设计一种花坛图案，即在梯形内找一点P，使得△APB≌△DPC，且S_△APD=S_△BPC，并说明理由．

解：（1）∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，
∴△AMD∽△BMC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵S_△AMD= $\text{[math]}$ =20m²，
∴S_△BMC=20×4=80m²，
∴种满△BMC地带所需的费用为：80×8=640元；

（2）设△AMD的高为h₁，△BMC的高为h₂，梯形ABCD的高为h，
则 $\text{[math]}$ ×10•h₁=20， $\text{[math]}$ ×20•h₂=80，
解得h₁=4，h₂=8，
∴h=4+8=12，
S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ （AD+BC）×h= $\text{[math]}$ （10+20）×12=180，
∴S_△AMB+S_△CMD=180-20-80=80，
所种花木的单价是：（1600-160-640）÷80=800÷80=10元，
∴选择种茉莉花，可以刚好用完所筹集的资金；

（3）如图，点P应在AD、BC的中垂线上，设△APD的高为x，则△BPC的高为（12-x），
∴S_△APD= $\text{[math]}$ ×10x=5x，

S_△BPC= $\text{[math]}$ ×20（12-x）=120-10x，
∵S_△APD=S_△BPC，
∴5x=120-10x，
解得x=8，
∴点P在AD、BC的中垂线上，且到AD的距离等于8米时，S_△APD=S_△BPC．
分析：（1）根据费用可以求出△AMD的面积，根据梯形的两底边互相平行可得△AMD和△BMC相似，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BMC的面积，然后即可求出种满△BMC地带所需的费用；
（2）先求出△AMD和△BMC的高，然后即可得到梯形ABCD的高，从而可以求出△ABM与△CDM的面积的和，根据费用求出可种花木的单价，即可进行选择；
（3）根据等腰梯形的轴对称性可知，点P应在AD、BC的中垂线上，设△APD的高为x，然后根据面积S_△APD=S_△BPC，列式进行计算求出x的值即可得解．
点评：本题考查了相似三角形的应用，等腰梯形的性质，以及三角形的面积，是综合题，难度不大，熟练掌握相似三角形的性质与等腰梯形的对称性是解题的关键．