Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．

(1)直接填空：∠BAD=______°.

(2)点P在CD上，连结AP，AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N．设∠DAM=α°．

①求∠BAN的度数(用含α的代数式表示)．

②若AN⊥BM，试探究∠AMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用α的代数式表示它．

Answer 1

【答案】(1)90；(2)①∠BAN=(45-α)°；②∠AMB=45°.

【解析】

(1)依据平行线的性质，即可得到∠BAD的度数；

(2)①根据AM平分∠DAP，∠DAM=α°，即可得到∠BAP=(90-2α)°，再根据AN平分∠PAB，即可得到∠BAN=(90-2α)°=(45-α)°；

②根据AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，即可得出∠MAN=∠MAP+∠PAN=45°，再根据AN⊥BM，即可得到∠AMB的度数为定值．

解：(1)∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=180°-90°=90°．

故答案为：90；

(2)①∵AM平分∠DAP，∠DAM=α°，

∴∠DAP=2α°，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAP=(90-2α)°，

∵AN平分∠PAB，

∴∠BAN=(90-2α)°=(45-α)°；

②∵AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，

∴∠PAM=∠PAD，∠PAN=∠PAB，

∴∠MAN=∠MAP+∠PAN=∠PAD+∠∠PAB=90°=45°，

∵AN⊥BM，

∴∠ANM=90°，

∴∠AMB=180°-90°-45°=45°．