Question

已知二次函数y=-x²+4x+m的图象经过点M（1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式，并求出函数图象的顶点坐标；
（2）已知一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，（1）中所求得的二次函数的图象的对称轴与一次函数y=2x+b的图象相交于点C，并且对称轴与x轴相交于点D．如果S△AOB=

1

4

S△ADC，求b的值．

Answer 1

分析：（1）二次函数y=-x²+4 x+m的图象经过点M（1，0），把（1，0）代入解析式就可以得到m的值．得到函数解析式，进而求出顶点坐标．
（2）易证△AOB∽△ADC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，就可以求出B点的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+4 x+m的图象经过点M（1，0），
∴-1+4+m=0．（1分）
∴m=-3．（1分）
∴所求函数的解析式是y=-x²+4 x-3．（1分）
又y=-x²+4 x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点坐标是（2，1）．（2分）

（2）由（1）得二次函数图象的对称轴是直线x=2，∴D（2，0）．（1分）
由题意得，A（-

b

2

，0）、B（0，b）、C（2，4+b）．（2分）
∵对称轴直线x=2与y轴平行，
∴△AOB∽△ADC．（1分）
∴

S△AOB

S△ADC

=(

OB

CD

)2=

1

4

，即

b2

(b+4)2

=

1

4

．（1分）
解得b₁=4，b2=-

4

3

．（2分）
经验证，b₁=4，b2=-

4

3

都是满足条件的m的值．

点评：本题主要考查了函数解析式与图象上的点的坐标的关系，在函数的图象上，就一定满足函数的解析式．