Question

（2013•松江区模拟）已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），P（5，3），抛物线与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求tan∠APC的值；
（3）在抛物线上求一点Q，过Q点作x轴的垂线，垂足为H，使得∠BQH=∠APC．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线过A（-1，0），B（4，0），P（5，3），所以把以上三个点的坐标分别代入解析式组成方程组求出a和b、c的值即可求出二次函数的解析式；
（2）设x=0，则y=-2，则可求出C点的坐标，由A（-1，0），P（5，3）可求出PA，AC，PC的长，利用勾股定理的逆定理可判定△APC是直角三角形，再由正切的定义即可求出tan∠APC的值；
（3））因为Q抛物线上，所以可设Q的坐标为（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），如∠BQH=∠APC，则tan∠BQH=tan∠APC=

1

3

，进而得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x值即可取出Q的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），P（5，3），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 25a+5b+c=3

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
故抛物线的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）设x=0，则y=-2，
∴抛物线与y轴交于点C的坐标是（0，-2），
∵A（-1，0），P（5，3），
∴PA=3

5

，AC=

5

，PC=5

2

，
∵PA²+AC²=50，PC²=50，
∴PA²+AC²=PC²，
∴△APC是直角三角形，
∴∠PAC=90°，
∵tan∠APC=

AC

PA

=

1

3

；

（3）∵Q抛物线上，
∴设Q的坐标为（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），
则QH=|

1

2

x²-

3

2

x-2|，OH=|x-4|，
∵∠BQH=∠APC，
∴tan∠BQH=tan∠APC=

OH

QH

=

1

3

，
即

|x-4|

| 1 2 x2- 3 2 x-2|

=

1

3

，
∴

x-4

1 2 x2- 3 2 x-2

=

1

3

或

x-4

1 2 x2- 3 2 x-2

=-

1

3

，
解得：x₁=4，x₂=5或x₁=4，x₂=-7，
∴Q（4，0）（舍），Q（5，3）（舍），Q（-7，33）．
综上所述在抛物线上求一点Q，过Q点作x轴的垂线，垂足为H，使得∠BQH=∠APC时，Q的坐标为（-7，33）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和坐标轴的交点、勾股定理和其逆定理的运用、锐角三角函数的运用和一元二次方程的解得问题，其中第三小题的关键点是由抛物线的解析式正确的设出Q点的坐标．