题目内容
如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在圆上且AD=DC，∠CAB=30°．（Ⅰ）求证：DC∥AB；
（Ⅱ）若AC=2
| 3 |
分析：（I）连接BC，由AB为直径，得∠ACB=90°，再根据∠CAB求得∠ABC．则
=
=
，得出∠CAB=∠ACD，即可得出DC∥AB（4分）
（Ⅱ）在Rt△ABC中，由三角函数可求得BC，从而得出AD．
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| AD |
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| DC |
| 1 |
| 2 |
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| AC |
（Ⅱ）在Rt△ABC中，由三角函数可求得BC，从而得出AD．
解答：
（I）证明：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∴
=
．（2分）
∵AD=DC，
∴
=
=
．
∴
=
．BC=AD
∴∠CAB=∠ACD=30°
∴DC∥AB（4分）
（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB=30°，AC=2
且BC=AC•tan∠CAB．（5分）
∴BC=2
×tan30°=2．（6分）
∴AD=2．（8分）
（I）证明：连接BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∴
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| BC |
| 1 |
| 2 |
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| AC |
∵AD=DC，
∴
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| AD |
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| DC |
| 1 |
| 2 |
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| AC |
∴
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| BC |
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| AD |
∴∠CAB=∠ACD=30°
∴DC∥AB（4分）
（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB=30°，AC=2
| 3 |
∴BC=2
| 3 |
∴AD=2．（8分）
点评：本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系，以及解直角三角形．
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