Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，点为上一个动点（不与，）重合），连接.

图1 图2

（1）直接写出 ___________，___________；

（2）如图1，过点作的垂线交过点平行于轴的直线于点，若点，

求点的坐标；

（3）如图2，以为斜边在右侧作等腰，.连接，当点从向运动过程中，的面积是否发生变化，请判断并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）面积不变为4，理由见解析.

【解析】

（1）根据完全平方公式即可化简，再根据非负性求解；

（2）过点作交轴于点，证明△APM为等腰直角三角形，再得到，得到，过作轴于点，根据得到

，故可得到OM，即可求出AC的长，即可求解；

（3）延长到，使， 得到为等腰三角形，再证明得到，根据直角三角形斜边上的中线性质得到AD=PD=DE,延长至点，使，得到四边形APFE为矩形，得到点在运动过程中，点在垂直平分线上运动，可得△BOD的BO边上的高为，再根据三角形的面积即可求解.

（1）∵

∴a+b=0，a-4=0，

∴a=4,b=-4

故答案为：，；

（2）过点作交轴于点，

∵A（0,4）,B（-4,0）

∴∠BAO=45°，

∴△APM为等腰直角三角形，

∵∠OPC=∠MPA=90°

∴∠OPC-∠MPC=∠MPA-∠MPC

∴∠OPM=∠CPA

∴AP=MP，∠PAM=∠PMA=45°

又∠PAC=∠PMO=135°

∴，

，

过作轴于点，又，

，

，

；

（3）延长到，使，连接，，

∵△POD为等腰直角三角形，

∴PD=OD=DE，OD⊥PE

则为等腰三角形，

∴PO=EO

∴AO=BO，∠POE=∠AOB=90°，

∵∠POE-∠AOP=∠AOB-∠AOP

∴∠POB=∠EOA

∴（SAS）

，

∴AD=PD=DE,

延长至点，使，

∴AD=DF=PD=DE,

∴四边形APFE为矩形，

，即，

点在运动过程中，点在垂直平分线上运动，

∴△BOD的BO边上的高为，

.