Question

已知：如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD．线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC=FD，求证：△ABF是等腰直角三角形．

Answer 1

证明：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA=FB．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACF与△FDB是直角三角形．
在Rt△ACF与Rt△FDB中，AC=FD，FA=BF，
∴Rt△ACF≌Rt△FDB（HL）．
∴∠CAF=∠DFB．
∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∴∠CFA+∠BFD=90°，
∴∠AFB=90°．
∴△ABF是等腰直角三角形．
分析：根据线段垂直平分线的性质，得FA=FB，只需证明∠AFB=90°．根据HL可以证明Rt△ACF≌Rt△FDB，则∠CAF=∠DFB，结合∠CAF+∠CFA=90°，即可求证．
点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质．