Question

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点E．求证：若⊙O₁的直径AB与⊙O₂的直径CD平行，则直线AD和BC相交于点E．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：证明题,数形结合

分析：首先连接AE，BE，DE，CE，O₁O₂，由⊙O₁与⊙O₂外切于点E．可得O₁O₂过点E，然后由AB∥CD，证A，E，D三点共线，同理：C，E，B三点共线，即可证得结论．

解答：证明：连接AE，BE，DE，CE，O₁O₂，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点E．
∴O₁O₂过点E，
∵AB∥CD，
∴∠AO₁O₂=∠DO₂O₁，
∵O₁A=O₁E，O₂E=O₂D，
∴∠A=∠AEO₁，∠D=∠DEO₂，
∴∠AEO₁=∠DEO₂，
∴A，E，D三点共线，
同理：C，E，B三点共线，
∴直线AD和BC相交于点E．

点评：此题考查了相切两圆的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．