Question

是否存在整数m，使关于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

与关于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同？若存在，求出整数m和不等式的解集；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当m大于零时，求出不等式的解集得出方程9-m=

m-5

2

，求出方程的解；（2）当m小于零时，求出不等式的解集x＜9-m，x＞

m-5

2

，解集不相同．把m的值代入求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

，
当m大于零时有，
m+3x＞x+9，
2x＞9-m，
∴x＞

1

2

（9-m），
x+1＞

x-2+m

3

，
∴3x+3＞x-2+m，
x＞

m-5

2

，
当

1

2

（9-m）=

m-5

2

时，
解得：m=7，
存在数m=7使关于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

与关于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同；
（2）1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

，
当m小于零时有，m+3x＜x+9，
2x＜9-m，
∴x＜

1

2

（9-m），
x+1＞

x-2+m

3

，
 3x+3＞x-2+m，
x＞

m-5

2

，
∵x＞

m-5

2

与x＜

1

2

（9-m）的不等号方向是相反，
∴当m＜0时不存在
  综合（1），（2）存在整数m=7使关于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

与关于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同．

1

2

（9-m）=1，
∴关于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

与关于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集都是x＞1，
答：存在整数m，使关于x的不等式1+

3x

m

＞

x

m

+

9

m

与关于x的不等式x+1＞

x-2+m

3

的解集相同，整数m=7，不等式的解集是x＞1．

点评：本题主要考查对解一元一次方程，不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．