Question

如图所示，在⊙O中，

AD

=

AC

，弦CD与弦AB交于点F，连接BC，若∠ACD=60°，⊙O的半径长为2cm．
（1）求∠B的度数及圆心O到弦AC的距离；
（2）求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，求出∠ABC=∠ACD即可，求出∠AOC度数，即可求出OE、AE；
（2）求出△AOC和扇形AOC的面积即可．

解答：
（1）解：如图，连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
∵弧AD=弧AC，
∴∠ABC=∠ACD
∵∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠ACD=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=

1

2

×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2，OE=OAcos60°=1．

（2）在Rt△AOE中，OA=2，OE=1，
∴由勾股定理得：AE=

3

，
∴AC=2AE=2

3

，
∴S_阴影=S_扇形OAC-S_△OAC=

120π•22

360

-

1

2

×2

3

×1=（

4

3

π-

3

）cm²．

点评：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积，三角形面积的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．