题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与
轴交于点C（0，-3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值．
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）M是抛物线上一点，点N在轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，D（1，-4）；（2）2；（3）P（
，0）或P（－3，0）；（4）N（1，0）或（
，0）或（－3，0）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，把B、C点的坐标代入解析式即可求解；
（2）作AH⊥BC于点H，通过与x轴的交点y=0构成方程，解方程可得A点的坐标，然后解直角三角形可求解；
（3）作DG⊥OB于点G ，tan∠DBG=tan∠ACB，可得∠DBG=∠ACB，然后利用相似三角形的性质和判定讨论得到P点在在点B的左侧，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（4）设M点的坐标为（x，x2-2x-3），然后根据A、C点和M的坐标，结合平行四边形的性质与判定求出N点的坐标即可.
试题解析：（1）y=x2-2x-3
D（1，-4）
（2）作AH⊥BC于点H
x2-2x-3=0
解得x=-1或x=3
所以A点为（-1，0）
∵ OB=OC，∠BOC=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB=2
（3）作DG⊥OB于点G
∵BG=2，DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°，△PBD是钝角三角形与△CAB不相似，
所以点P在点B的左侧.
∵△PBD与△CAB相似，且∠DBG=∠ACB
∴
或
∵BD=2
∴BP=
或BP=6
∴P（-
，0）或P（-3，0）
（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．
【题目】近年来，青少年中的近视眼和肥胖案例日趋增多，人们普遍意识到健康的身体是学习的保障，所以体育活动越来越受重视.某商店分两次购进跳绳和足球两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示.
购进数量(件) | 购进所需费用(元) | ||
跳绳 | 足球 | ||
第一次 | 30 | 40 | 3800 |
第二次 | 40 | 30 | 3200 |
(1)跳绳和足球两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)商店计划用5300元的资金进行第三次进货，共购进跳绳和足球两种商品100件，其中要求足球的数量不少于跳绳的数量，有哪几种进货方案？
