Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点B（1，0）、C（-3，0），且过点A（3，6）．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连接CP、PB、BQ，试求四边形PBQC的面积．
（3）在x轴上找一点M，使以点B、P、M为顶点的三角形与△ABC相似，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法直接将点B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）的坐标代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式，设出直线AC的解析式，将A、C的坐标代入就可以了．
（2）根据抛物线的解析式求出对称轴，再求出Q点的坐标，再用S_△BCQ+S_△BCP就可以求出四边形PBQC的面积．
（3）根据两点间的距离公式求出AC、BC和AB的值分3种情况，当△ABC∽△MPB，△ABC∽△PMB，由相似三角形的性质可以求出对应的M的坐标．

解答：解：（1）∵点B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）在物线y=ax²+bx+c上，
∴

0=a+b+c 0=9a-3b+c 6=9a+3b+c

解得，

a= 1 2 b=1 c=- 3 2

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+x-

3

2

．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=-3k+b 6=3k+b

，
解得

b=3 k=1

，
∴直线AC的解析式是：y=x+3．

（2）∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+x-

3

2

．
y=

1

2

（x+1）²-2
∴对称轴x=-1，P（-1，-2）
∴y=-1+3=2，
∴Q（-1，2）．
∵B（1，0）、C（-3，0），
∴BC=4，
∴S四边形CPDQ=S_△BCQ+S_△BCP
=

4×2

2

+

4×2

2

=8

（3）∵B（1，0）、C（-3，0）、A（3，6）、P（-1，-2），
∴由两点间的距离公式，得
AC=6

2

，AB=2

10

，BC=4，BP=2

2

当△ABC∽△M₁PB时，

AC

BM1

=

BC

BP

∴

6 2

BM1

=

4

2 2

，
BM₁=6
∴M₁（-5，0），
当△ABC∽△PM₂B时，
∴

BC

M2B

=

AC

BP

，
∴

4

M2B

=

6 2

2 2

∴M₂B=

4

3

，
∴M₂（-

1

3

，0）
∴M（-5，0）或（-

1

3

，0）

点评：本题试一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，四边形的面积公式及相似三角形的判定及性质．