Question

如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₂BC和∠A₂₀₁₂CD的平分线交于点A₂₀₁₃，则：
（1）∠A₁=

1

2

m

度；
（2）∠A₂₀₁₃=

1

22013

m

度．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A₁+∠A₁BC=∠A₁CD，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，然后整理即可得到∠A₁=

1

2

∠A；
（2）同理可得后一个角是前一个角的

1

2

，然后写出∠A₂₀₁₃与∠A的关系，即可得解．

解答：解：（1）由三角形的外角性质得，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A₁+∠A₁BC=∠A₁CD，
∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=m°，
∴∠A₁=

1

2

m°；

（2）同理可得：∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，
∠A₃=

1

2

∠A₂=

1

23

∠A，
…，
∠A₂₀₁₃=

1

22013

∠A，
∵∠A=m°，
∴∠A₂₀₁₃=

1

22013

m°．
故答案为：

1

2

m；

1

22013

m．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的

1

2

的规律是解题的关键．