Question

已知M是弧CAB的中点，MP垂直弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是

1. A.
   2x+1
2. B.
   2x+2
3. C.
   2x+3
4. D.
   3x+1

Answer 1

A
分析：延长MP，交⊙O于点D，延长DC，交BA的延长线于点G，连接BD．首先由于M是弧CAB的中点，根据圆心角、弧、弦的关系，得出∠GDP=∠BDP．再根据等腰三角形的判定与性质得出PB=GP，∠B=∠G．根据圆内接四边形的外角等于其内对角，得出∠ACG=∠B，进而证出AG=AC，从而得出BP=AP+AC．
解答：解：延长MP，交⊙O于点D，延长DC，交BA的延长线于点G，连接BD．
∵M是弧CAB的中点，
∴∠GDP=∠BDP．
∵DP⊥BG，
∴△BDG是等腰三角形，
∴PB=GP，∠B=∠G．
∵ABDC是圆内接四边形，
∴∠ACG=∠B，
∴∠ACG=∠G，
∴AG=AC，
∴BP=AP+AG=AP+AC，
∵AC=x，AP=x+1，
∴BP=2x+1．
故选A．
点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，综合性较强，难度中等，关键是辅助线的作法．