Question

某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Answer 1

解：（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x²+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x²+136x﹣1800。
（2）由z=350，得350=﹣2x²+136x﹣1800，
解这个方程得x₁=25，x₂=43。
∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。
∵z═﹣2x²+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）²+512，
∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。
（3）结合（2）及函数z=﹣2x²+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时，z≥350。
又由限价32元，得25≤x≤32。
根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x=32时，每月制造成本最低。
最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）。
∴所求每月最低制造成本为648万元。

解析