Question

【题目】二次函数图象的顶点在原点O，且过点（1，1），点F（0，）在y轴上，直线与y轴交于点H，

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：FM平分∠OFP；

（3）当点P横坐标为时，过O点作OQ⊥OP交抛物线于点Q，在y轴上找点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）见解析（3）C点坐标为（0，）或（0，-）或（0,1）.

【解析】

（1）根据题意可设函数的解析式为y＝ax2，将点（1，1）代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；

（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM，∠PFM＝∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；

（3）先求出P（，2），得到OE=，PE=2,过点Q作QA⊥x轴与点A,根据OP⊥OQ，利用tan∠POE= tan∠AQO求出OA=QA，设Q(a,a2)代入二次函数得到Q点坐标，故得到OQ的长，再根据当△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形分①当OQ=OC时与②当OQ=CQ时分别进行求解.

（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为y＝ax2，

将（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，

∴二次函数的解析式为y＝x2；

（2）证明：∵点P在抛物线y＝x2上，

∴可设点P的坐标为（x，x2），

过点P作PB⊥y轴于点B，

则BF＝| x2|，PB＝|x|，

∴Rt△BPF中，

PF＝=，

∵PM⊥直线，

∴PM＝，

∴PF＝PM，

∴∠PFM＝∠PMF，

又∵PM∥y轴，

∴∠MFH＝∠PMF，

∴∠PFM＝∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）当x=时，y=，

∴P（，2）

设OM与x轴交于E点，

∴OE=，PE=2,

过点Q作QA⊥x轴与点A,

∵OP⊥OQ，

∴∠QOP=90°

∴∠AQO+∠QOA=90°=∠QOA+∠POE，

∴∠POE=∠AQO

∴tan∠POE= tan∠AQO==

∴OA=QA

设Q(a,a2),∴-a=a2,

解得a1=0(舍去),a2=-

∴Q（-，）

∴QO=

当△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，

∴①当OQ=OC时，即C点为（0，）或（0，-）

②当OQ=CQ时，设C（0,c）则=

解得,c1=1，c2=0（舍去），

∴C（0,1）

综上：C点坐标为（0，）或（0，-）或（0,1）.