Question

【题目】如图，在菱形中，，，，相交于点．

求边的长；

如图，将一个足够大的直角三角板角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板角的两边分别与边，相交于点，，连接与相交于点．

①判断是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点为边的四等分点时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①是等边三角形；②．

【解析】

（1）由已知得△AOB为直角三角形，由此利用勾股定理能求出AB；

（2）①由已知得△ABC与△ACD均为等边三角形，从而∠BAE＝∠CAF＝60°．由已知推导出△ABE≌△ACF，从而得到△AEF是等腰三角形，由∠EAF＝60°，能证明△AEF是等边三角形；

②由已知推导出△ABE≌△ACF，从而CF＝BE＝32，∠EAC＝∠GFC，再推导出△CAE∽△CFG，能求出CG．

∵四边形是菱形，

∴，

∴为直角三角形，且，．

在中，由勾股定理得：

．

①是等边三角形．理由如下：

∵由知，菱形边长为，，

∴与均为等边三角形，

∴，

又∵，

∴．

在与中，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

又∵，

∴是等边三角形．

②，为四等分点，且，

∴，．

由①知，

∴．

∵（三角形内角和定理），

（等边三角形内角），

（对顶角）

∴．

在与中，

∵，

∴，

∴，即，

解得：．