Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过原点和点A（4，0），顶点在直线y=-

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x-1上，P为抛物线上的一个动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△POA面积为5时，求点P坐标；
（3）当点P在x轴上方时，若cos∠OPA=

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，⊙M经过点O，A，P，求过A点且与⊙M相切的直线解析式．

Answer 1

分析：（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，又顶点在直线上，即可即可求出顶点坐标，代入即可求出抛物线的解析式；
（2）根据△POA面积为5，可先求出点P的纵坐标，代入函数解析式即可求出点P的横坐标；
（3）连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，可证∠OPA=∠AMC，继而求出MC的长，再通过证明△AMC≌△DAO，得OD=AC，即可求出点D的坐标，从而求出AD的解析式．

解答：解：（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
在y=-

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x-1中，当x=2时，y=-2，
∴顶点坐标为（2，-2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-2，
把O（0，0）代入解得，a=

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2

∴y=

1

2

(x-2)2-2，
即y=

1

2

x2-2x；
（2）∵S△AOP=

1

2

OA•|yP|=5，
∴|yP|=

5

2

，
又∵y_P≥2，∴yP=

5

2

，
在y=

1

2

x2-2x中，当y=

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2

时，

1

2

x2-2x=

5

2

，
解得，x₁=-1，x₂=5，
∴P(-1，

5

2

)或P(5，

5

2

)；

（3）如图，连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，
可证∠OPA=∠AMC，
∴cos∠AMC=cos∠OPA=

MC

MA

=

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，
∵MC⊥OA，
∴AC=

1

2

OA=2，
由勾股定理可得MC=4，
∵AD是⊙M的切线，∴AD⊥AM，
∴△AMC≌△DAO，
∴OD=AC=2，D（0，-2），
可求得直线AD的解析式为y=

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2

x-2．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答此题的关键．